Fizyka klasyczna przewidywała, że atom krążący po orbicie będzie wypromieniowywał energię, tak że częstość z jaką krąży elektronu i w konsekwencji także częstość wysyłanego promieniowania będą się zmieniać w sposób ciągły. Tymczasem obserwujemy bardzo ostre linie widmowe o ściśle określonej częstotliwości (długości fali).

Sprzeczności te usunął Niels Bohr, proponując nowy kwantowy model budowy atomu. Klasyczny obraz planetarnego atomu zbudowanego z masywnego jądra i krążących wokół niego pod wpływem siły kulombowskiej elektronów Bohr rozszerzył o nowe kwantowe postulaty:

• Zamiast nieskończonej liczby orbit dozwolonych z punktu widzenia mechaniki klasycznej, elektron może poruszać się tylko po pewnych dozwolonych orbitach.
• Podobnie jak oscylatory Plancka, tak samo atom wodoru może znajdować się tylko w ściśle określonych stacjonarnych stanach energetycznych, w których, pomimo, że elektron doznaje przyspieszenia (poruszając się po orbicie), nie wypromieniowuje energii. Jego całkowita energia pozostaje stała.
• Promieniowanie elektromagnetyczne zostaje wysłane tylko wtedy, gdy elektron poruszający się po orbicie o całkowitej energii \( E_{j} \), zmienia swój ruch skokowo, tak że porusza się następnie po orbicie o niższej energii \( E_{k} \) (zob. Rys. 1 ).

Częstotliwość emitowanego promieniowania jest równa:

Natomiast \( h\nu \) jest energią fotonu, który zostaje w trakcie przejścia wypromieniowany przez atom. Zwróćmy uwagę, że taki był postulat Einsteina głoszący, że częstotliwość fotonu promieniowania elektromagnetycznego jest równa energii fotonu podzielonej przez stałą Plancka.

Wynika stąd, że trzeba wyznaczyć energie stanów stacjonarnych i wtedy obliczając możliwe różnice tych energii, będzie można przewidzieć wygląd widma promieniowania emitowanego przez atom.

W tym celu zakładamy, że elektron porusza się po orbitach kołowych o promieniu \( r \) ze środkiem w miejscu jądra oraz że jądro (pojedynczy proton) jest tak ciężkie, że środek masy pokrywa się ze środkiem protonu. Korzystając z drugiej zasady dynamiki Newtona i prawa Coulomba (zob. moduł Prawo Coulomba ), otrzymujemy

gdzie uwzględniliśmy tylko przyciąganie elektrostatyczne pomiędzy dodatnim jądrem i ujemnym elektronem, zaniedbując oddziaływanie grawitacyjne. (Słuszność tego założenia sprawdziliśmy rozwiązując zadanie w module Pole elektryczne ).

Na podstawie wzoru ( 2 ) można obliczyć energię kinetyczną elektronu

Natomiast energia potencjalna układu elektron-proton jest dana równaniem

Całkowita energia układu będąca sumą energii kinetycznej i potencjalnej wynosi

Ze wzoru ( 3 ) na energię kinetyczną możemy wyznaczyć prędkość liniową elektronu

Na tej podstawie pęd elektronu dany jest równaniem

a moment pędu

Zwróćmy uwagę, że jeżeli znamy promień orbity \( r \), to znamy również pozostałe wielkości \( E_{k} \), \( E_{p} \), \( E \), \( \nu \), \( p \) oraz \( L \).

Oznacza to również, że jeżeli jakakolwiek z tych wielkości jest skwantowana (może przyjmować tylko ściśle określone, a nie dowolne wartości), to wszystkie wymienione wielkości też muszą być skwantowane.

Bohr poszukiwał zasady, która dopuszczałaby tylko pewne promienie orbit, czyli tylko pewne wartości energii elektronów i wysunął hipotezę, według której najprostszą jest kwantyzacja parametrów orbity i która mówiła, że moment pędu elektronu musi być całkowitą wielokrotnością stałej Plancka podzielonej przez \( 2\pi \).

Postulat Bohra dotyczy kwantyzacji momentu pędu \( L \) (równanie ( 9 ) ). Jednak jeżeli jakakolwiek z wielkości \( E_{k} \), \( E_{p} \), \( E \), \( \nu \), \( p \) oraz \( L \) jest skwantowana, to wszystkie muszą być skwantowane.

Łącząc wyrażenie na moment pędu ( 8 ) z postulatem Bohra ( 9 ), otrzymujemy

Widzimy jak skwantowane jest \( r \). Podstawiając ten wynik do wyrażenia na energię całkowitą ( 5 ), otrzymujemy wartości energii dozwolonych stanów stacjonarnych

To równanie przedstawia wartości energii dozwolonych stanów stacjonarnych.

Stan z liczbą kwantową \( n = 1 \) tzw. stan podstawowy odpowiada najniższej energii \( E_{1} \) = -13.6 eV, a stan z liczbą kwantową \( n \rightarrow {\infty} \) odpowiada stanowi o zerowej energii \( E = 0 \), w którym elektron jest całkowicie usunięty poza atom.

Jak widać wprowadzenie kwantowania orbitalnego momentu pędu elektronu prowadzi do kwantowania jego energii całkowitej.